余弦定理
余弦定理对解三角形是非常有用的：
这定理适用于任何三角形：
a、b 和 c 是三角形的边。
C 边 c 的对角
我们举个例来看看：
例子："c" 的长度是多少？
已知： C = 37º、a = 8 和 b = 11
余弦定理说：
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
代入已知值：
c2 = 82 + 112 − 2 × 8 × 11 × cos(37º)
计算：
c2 = 64 + 121 − 176 × 0.798…
计算：
c2 = 44.44...
开平方：
c = √44.44 = 6.67 保留两位小数
答案：c = 6.67
怎样记
怎样去记这公式呢？
公式其实是在 勾股定理 上多加一点，使其适用于所有的三角形：
勾股定理：
a2 + b2 = c2
（只适用于直角三角形）
余弦定理:
a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2
（适用于所有三角形）
这样记：
想英语字母 "abc"：a2 + b2 = c2,
再来一个 "abc"： 2ab cos(C),
放在一起：a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2
什么时候用
在以下的情形，我们可以用余弦定理：
已知三角形的两边和两边中间的夹角，求第三边（像上面的例子）
已知三角形的三边，求其角度（如以下的例子）
例子：角 "C" 是多大？
长度为 "8" 的边的对角是 C，所以这边是 c。另外两条边是 a 和 b。
把已知值代入余弦定理：:
开始：
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
代入 a、b 和 c：
82 = 92 + 52 − 2 × 9 × 5 × cos(C)
Calculate:
64 = 81 + 25 − 90 × cos(C)
重排及解:
每边减 25：
39 = 81 − 90 × cos(C)
每边减 81：
−42 = −90 × cos(C)
两边对调：
−90 × cos(C) = −42
除以 −90：
cos(C) = 42/90
取逆余弦：
C = cos-1(42/90)
用计算器：
C = 62.2° （保留一位小数）
其他形式
求角度的简易形式
上面我们看到已知三边是怎样去求角度。我们用了几步来做，但其实用 "直接" 公式会比较简单（公式只不过是重排这公式： c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) ）。公式可以有三个形式：
cos(C) =
a2 + b2 − c2
2ab
cos(A) =
b2 + c2 − a2
2bc
cos(B) =
c2 + a2 − b2
2ca
例子：用余弦定理（角度形式）来求角 "C"
已知三边：
a = 8,
b = 6 和
c = 7。
用余弦定理（角度形式）来求角 C：
cos C
= (a2 + b2 − c2)/2ab
= (82 + 62 − 72)/2×8×6
= (64 + 36 − 49)/96
= 51/96
= 0.53125
C
= cos-1(0.53125)
= 57.9° 保留一位小数
a、b 和 c 的形式
你也可以重写 c2 = a2 + b2 - 2ab cos(C) 公式为 "a2=" and "b2=" 的形式。
以下是这三个形式：
但最容易是记着 "c2=" 的形式，然后在应用时用不同的字母！
如下：
例子：求长度 "z"
字母不同！没关系。我们可以以 x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c
开始：
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c
z2 = x2 + y2 − 2xy cos(Z)
代入已知值：
z2 = 9.42 + 6.52 − 2×9.4×6.5×cos(131º)
计算：
z2 = 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656...)
z2 = 130.61 + 80.17……
z2 = 210.78……
z = √210.78…… = 14.5 保留一位小数。
答案：z = 14.5
留意到 cos(131º) 是负数吗？这把最后的正负号变成 +（正）号了。钝角的余弦一定是负数（见 单位圆）。
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